Оглавление.

Компьютерное распознавание и порождение речи

Глава 3. Определение параметров речевого сигнала.

3.4. Коэффициенты линейного предсказания.

Суть линейного предсказания в нахождении коэффициентов ak (k=1..p) для формулы:

	p
x[n] =	∑	(ak x[n-k])		(1)
	k=1

и последующем использовании этой формулы. Другими словами мы должны построить линейный многочлен, позволяющий с хорошей точностью вычислять значение любого отсчета в сигнале по значениям предыдущих p отсчетов. Коэффициенты a_k и называются коэффициентами линейного предсказания.

Фактически, имея некоторый сигнал, мы имеем статистическую выборку которую можно представить в виде таблицы:

х[n-p]	х[n-p+1]	х[n-p+2]	. . .	х[n-1]	х[n]
х[0]	х[1]	х[2]	. . .	x[p-1]	x[p]
х[1]	х[2]	х[3]	. . .	x[p]	x[p+1]
х[2]	х[3]	х[4]	. . .	x[p+1]	x[p+2]
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
х[N-p-1]	х[N-p]	х[N-p+1]	. . .	x[N-2]	x[N-1]

То есть нахождение коэффициентов линейного предсказания сводится к вычислению коэффициентов линейной регрессии для данной статистической выборки и мы можем пользоваться методами математической статистики.

Минимизируем сумму квадратов ошибок для каждого из вычисляемых отсчетов.
Ошибка для отсчета x[n] равна

	p
δ[n] = x[n] -	∑	(ak x[n-k])		(2)
	k=1

А минимизируемая функция равна

N-1

N-1

p

N-1

N-1

p

E =

∑

δ2[n] =

∑

x[n] -

∑

(ak x[n-k]))2 =

∑

x2[n] - 2

∑

x[n]

∑

(ak x[n-k]) )+

n=0

n=0

k=1

n=0

n=0

k=1

	N-1		p		N-1		p		N-1
+	∑	(	∑	(ak x[n-k]))2 =	∑	x2[n] - 2	∑	(ak	∑	(x[n] x[n-k])) +
	n=0		k=1		n=0		k=1		n=0

	p	p		N-1
+	∑	∑	ak aj	∑	(x[n-k]x[n-j]))		(3)
	j-1	k=1		n=0

Продифференцируем E по a_k и приравняем частные производные нулю для нахождения экстремума:

	N-1		p		N-1
dE/dak =	∑	(x[n] x[n-k])) +	∑	aj	∑	(x[n-k]x[n-j]))=0		(4)
	n=0		j=1		n=0

Заменив для удобства восприятия j на i, а k на j получим систему p линейных уравнений c p неизвестными :

p
∑	aicij=c0j		(5.1)
i=1

где

	N-1
cij=cji=	∑	x[n-i]x[n-j])		(5.2)
	n=0

Эта система называется системой уравнений Юла-Уокера. Погрешность найденных коэффициентов оценивается как:

	p		p		p		p
E = c00-2	∑	aic0i+	∑	ai	∑	ajcij = c00 -	∑	aic0i		(6)
	i=1		i=1		j=1		i=1

Есть два основных подхода для решения системы уравнений Юла-Уокера.

Распознавание речи. Обработка текстов на естественном языке.